مطالعه ضرایب لاپلاسی و شاخص وینر گراف ها

ساختار مولکولی ترکیبات شیمیایی را می توان به صورت چند ضلعی ها، مسیرها، درخت ها و یا غیره مدل سازی نمود. بطور کلی گراف مولکولی، گرافی است که به یک ساختار مولکولی نسبت داده می شود. در این گراف، هر اتم از مولکول شیمیایی به عنوان یک راس و پیوند بین اتم ها یال های گراف نامیده می شود‎.‎ ‎hspace*{5mm}‎ یک شاخص توپولوژیک مقدار عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود. به عبارت دیگر فرض کنید ‎$ mathcal{c}_{j} $‎ کلاس همه گراف های همبند باشد. در این صورت تابع ‎$ f‎ : ‎mathcal{c}_{j} longrightarrow mathbb{r }^{+} $‎ را یک تابع توپولوژیک می نامیم، هرگاه برای هر دو گراف ‎$ g‎ , ‎h in mathcal{c}_{j} $‎ از ‎$ g cong h $‎ نتیجه شود که ‎$ f(g) = f(h) $‎. وینر یک گراف، اولین بار در سال ‎1947‎ توسط هارولد وینر (فیزیکدان و شیمیدان آمریکایی) مطرح شد. هارولد وینر ارتباط زیادی بین شاخص وینر و ویژگی های شیمی ـ فیزیک آلکان ها به دست آورد. این شاخص، از نصف حاصل جمع فواصل همه جفت راس ها از یک گراف حاصل می شود. هارولد تنها عدد وینر آلکان ها بدست آورد، هوسویا ‎(1971)‎ اولین کسی بود که ارتباط بین عدد وینر و فاصله در گراف های مولکولی را مطرح کرد. ‎‎ در این پایان نامه به سوالات زیر پاسخ می دهیم‎:‎ آیا می توان شرایطی فراهم کرد که توسط آن ها، شاخص وینر افزایش یا کاهش یابد؟ اگر معیاری برای کاهش وینر بدست آید، آیا می توان گراف هایی پیدا کرد که این شاخص را در آن ها مینیمم کرد؟ نهایتا به این سوال پاسخ می دهیم که آیا می توان رابطه ای بین شاخص وینر و ضرایب چند جمله ای مشخصه لاپلاسی به دست آورد؟